A stationary boundary-value problem for the Navier–Stokes equations of an incompressible fluid in a domain of a spherical layer type is considered. The velocity vector on the boundary is given. The solvability of this problem was proven by Jean Leray (1933) under an additional condition of a zero flux through each connected component of the flow domain boundary. The following problem is open up to now: does a solution to the flux problem exist if only the necessary condition of a zero total flux is satisfied? The present communication is devoted to the consideration of the Leray problem in a spherical-layer-type domain. An a priori estimate of the solution under the condition of flow symmetry with respect to a plane is obtained. This estimate implies the solvability of the problem.

On considère le problème avec conditions au bord pour les équations de Navier–Stokes stationnaires régissant l'écoulement d'un fluide incompressible dans une couche sphérique. On donne la vitesse au bord. Jean Leray (1933) a démontré la solvabilité de ce problème sous la condition d'un flux nul à travers chacune des composantes connexes du bord. Le problème suivant est à présent ouvert : est-ce qu'une solution du problème avec flux existe sous la seule condition d'un flux total nul ? La note ci-dessous considère le problème de Leray dans une couche sphérique. On obtient une estimation a priori de la solution, sous la condition de symétrie par rapport à un plan. Cette estimation implique la solvabilité du problème.