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Faîte du cône tangent à une singularité : un théorème oublié - 18/04/17

Doi : 10.1016/j.crma.2017.02.006 
Vincent Cossart a , Olivier Piltant a , Bernd Schober b, c
a Laboratoire de mathématiques, LMV UMR 8100, Université de Versailles, 45, avenue des États-Unis, 78035 Versailles cedex, France 
b The Fields Institute, 222 College Street, Toronto ON M5T 3J1, Canada 
c University of Toronto, Department of Mathematics, 40 St. George Street, Toronto ON M5S 2E4, Canada 

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Résumé

Soit   un schéma excellent ; on note   la fonction de Hilbert–Samuel modifiée. Cette fonction est semi-continue supérieurement le long de   et décroissante (au sens large) par éclatements permis. Dans le cas où   est plongé dans un ambiant régulier, pour tout  , le « τ stable de x », noté  , est la codimension du faîte du cône tangent de   en x dans le cône tangent de   en x. Il est connu que la fonction
ι:X→NN×−N,x↦(HX(x),−τst(x)), est décroissante (au sens large) par éclatements permis pour l'ordre lexicographique. Dans cette note, nous montrons que ι est semi continue supérieurement sur  . Nous généralisons au cas non plongé.

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Abstract

Let   be an excellent scheme; we denote by   the modified Hilbert–Samuel function. This function is upper semi-continuous along   and does not increase for the lexicographical ordering after permissible blowing ups. When   is embedded in a regular ambient scheme, for all  , the “stable τ at x” (“τ stable de x”), denoted by  , is the codimension of the ridge of the tangent cone of   at x in the tangent cone of   at x. It is well known that the function
ι:X→NN×−N,x↦(HX(x),−τst(x)), does not increase for the lexicographical ordering after permissible blowing ups. In this note, we show that ι is upper semi-continuous along  . This result is generalized to the non-embedded case.

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Vol 355 - N° 4

P. 455-459 - avril 2017 Retour au numéro
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