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Combinatorial models for spaces of cubic polynomials - 17/05/17

Doi : 10.1016/j.crma.2017.04.005 
Alexander Blokh a , Lex Oversteegen a , Ross Ptacek b , Vladlen Timorin b
a Department of Mathematics, University of Alabama at Birmingham, Birmingham, AL 35294, USA 
b Faculty of Mathematics, National Research University Higher School of Economics, 6 Usacheva St., 119048 Moscow, Russia 

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Abstract

W. Thurston constructed a combinatorial model of the Mandelbrot set   such that there is a continuous and monotone projection of   to this model. We propose the following related model for the space   of critically marked cubic polynomials with connected Julia set and all cycles repelling. If  , then every point z in the Julia set of the polynomial P defines a unique maximal finite set   of angles on the circle corresponding to the rays, whose impressions form a continuum containing z. Let   denote the convex hull of  . The convex sets   partition the closed unit disk. For   let   be the co-critical point of  . We tag the marked dendritic polynomial   with the set  . Tags are pairwise disjoint; denote by   their collection, equipped with the quotient topology. We show that tagging defines a continuous map from   to   so that   serves as a model for  .

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Résumé

W. Thurston a construit un modèle combinatoire de l'ensemble de Mandelbrot   tel qu'il y ait une projection monotone et continue de   sur ce modèle. En relation avec ceci, nous proposons le modèle lié suivant pour l'espace   des polynômes cubiques à points critiques marqués, avec ensemble de Julia connexe et tous les cycles répulsifs. Si  , alors chaque point z dans l'ensemble de Julia du polynôme P définit un unique ensemble fini maximal   d'angles sur le cercle correspondant aux rayons, dont les impressions forment un continuum contenant z. Soit   l'enveloppe convexe de  . Les ensembles convexes   définissent une partition du disque unité fermé. Pour  , soit   le point co-critique de  . Nous balisons le polynôme dendritique marqué   avec l'ensemble  . Les balises sont deux à deux disjointes ; désignons par   leur collection, équipée de la topologie quotient. Nous montrons que le balisage définit une application continue de   dans   de sorte que   est un modèle pour  .

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Vol 355 - N° 5

P. 590-595 - mai 2017 Retour au numéro
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