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Goldman–Turaev formality from the Knizhnik–Zamolodchikov connection - 23/11/17

Connexion de Knizhnik–Zamolodchikov et formalité pour la bigèbre de Lie de Goldman–Turaev

Doi : 10.1016/j.crma.2017.10.013 
Anton Alekseev , Florian Naef
 Department of Mathematics, University of Geneva, 2-4, rue du Lièvre, C.P. 64, CH-1211 Geneva, Switzerland 

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Abstract

For an oriented 2-dimensional manifold Σ of genus g with n boundary components, the space   carries the Goldman–Turaev Lie bialgebra structure defined in terms of intersections and self-intersections of curves. Its associated graded Lie bialgebra (under the natural filtration) is described by cyclic words in   and carries the structure of a necklace Schedler Lie bialgebra. The isomorphism between these two structures in genus zero has been established in [[13]] using Kontsevich integrals and in [[2]] using solutions of the Kashiwara–Vergne problem.

In this note, we give an elementary proof of this isomorphism over  . It uses the Knizhnik–Zamolodchikov connection on  . We show that the isomorphism naturally depends on the complex structure on the surface. The proof of the isomorphism for Lie brackets is a version of the classical result by Hitchin [[9]]. Surprisingly, it turns out that a similar proof applies to cobrackets.

Furthermore, we show that the formality isomorphism constructed in this note coincides with the one defined in [[2]] if one uses the solution of the Kashiwara–Vergne problem corresponding to the Knizhnik–Zamolodchikov associator.

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Soit Σ une variété orientable de dimension 2, de genre g et avec n composants de bord. L'espace   a une structure de bigèbre de Lie de Goldman–Turaev définie par les intersections et les autointersections des courbes sur Σ. La bigèbre de Lie graduée associée (par rapport à la filtration naturelle) est décrite par l'espace des mots cycliques en  . En genre zéro, l'isomorphisme entre ces deux bigèbres de Lie a été établi dans [[13]] en utilisant l'intégrale de Kontsevich, et dans [[2]] en utilisant les solutions du problème de Kashiwara–Vergne.

Dans cette note, nous donnons une démonstration élémentaire de cet isomorphisme sur  . Notre démonstration utilise la connexion de Knizhnik–Zamolodchikov sur  . Nous montrons que cet isomorphisme dépend naturellement de la structure complexe sur Σ. La preuve de l'isomorphisme pour le crochet de Lie est une version d'un résultat classique de Hitchin [[9]]. D'une manière surprenante, un argument similaire s'applique également au cocrochet.

De plus, nous montrons que l'isomorphisme de formalité construit dans cette note coïncide avec l'isomorphisme défini dans [[2]] si on choisit la solution du problème de Kashiwara–Vergne, qui correspond à l'associateur de Knizhnik–Zamolodchikov.

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Vol 355 - N° 11

P. 1138-1147 - novembre 2017 Retour au numéro
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