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On a convergence theorem for semigroups of positive integral operators - 01/12/17

Doi : 10.1016/j.crma.2017.07.017 
Moritz Gerlach a , Jochen Glück b
a Universität Potsdam, Institut für Mathematik, Karl-Liebknecht-Straße 24–25, 14476 Potsdam, Germany 
b Universität Ulm, Institut für Angewandte Analysis, 89069 Ulm, Germany 

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Abstract

We give a new and very short proof of a theorem of Greiner asserting that a positive and contractive  -semigroup on an  -space is strongly convergent in case it has a strictly positive fixed point and contains an integral operator. Our proof is a streamlined version of a much more general approach to the asymptotic theory of positive semigroups developed recently by the authors. Under the assumptions of Greiner's theorem, this approach becomes particularly elegant and simple. We also give an outlook on several generalisations of this result.

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Résumé

Nous présentons une nouvelle preuve très courte d'un théorème de Greiner qui dit qu'un semi-groupe de contractions positives sur un espace   converge fortement au cas où il contiendrait un opérateur intégral et posséderait un point fixe positif presque partout. Notre preuve est une version simplifiée d'une approche plus générale de la théorie asymptotique des semi-groupes positifs développée récemment par les auteurs. Dans la situation du théorème de Greiner, cette approche est particulièrement élégante et simple. Finalement, on présente un bref aperçu de plusieurs généralisations de ce résultat.

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Vol 355 - N° 9

P. 973-976 - septembre 2017 Retour au numéro
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