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On global discontinuous solutions of Hamilton-Jacobi equations - 22/03/08

Gui-Qiang Chen a , Bo Su b
a Department of Mathematics, Northwestern University, Evanston, IL 606037-2730, USA 
b Department of Mathematics, University of Wisconsin-Madison, Madison, WI 53706-1380, USA 

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Note presented by Pierre-Louis Lions

Abstract

The uniqueness of classical semicontinuous viscosity solutions of the Cauchy problem for Hamilton-Jacobi equations is established for globally Lipschitz continuous and convex Hamiltonian H=H(Du), provided the discontinuous initial value function (x) is continuous outside a set Γ of measure zero and satisfies ()(x)⩾(x):=liminfy→x,yRd⧹Γ(y). We prove that the discontinuous solutions with almost everywhere continuous initial data satisfying (()) become Lipschitz continuous after finite time for locally strictly convex Hamiltonians. The L1-accessibility of initial data and a comparison principle for discontinuous solutions are shown for a general Hamiltonian. The equivalence of semicontinuous viscosity solutions, bi-lateral solutions, L-solutions, minimax solutions, and L-solutions is clarified. To cite this article: G.-Q. Chen, B. Su, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 113-118

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Résumé

On établit l'unicité des solutions de viscosité semicontinues classiques du problème de Cauchy des équations d'Hamilton-Jacobi possèdant des Hamiltonien H=H(Du) convexe et Lipschitz continue globale, si la fonction initiale discontinue (x) est continue à l'extérieur de l'ensemble Γ de mesure zéro et satisfait (()). On montre la régularité des solutions discontinues des équations d'Hamilton-Jacobi possédant des Hamiltoniens localement strictement convexes : les solutions discontinues possédant les données initiales continues presque partout et satisfaisant (()) deviennent Lipschitz continues après un temps fini. On prouve la L1-accessibilité des données initiales et un principe de comparaison. On clarifie aussi l'équivalence des solutions de viscosité semicontinues, des solutions bi-latérales, des L-solutions, des solutions minimax, et des L-solutions. Pour citer cet article : G.-Q. Chen, B. Su, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 113-118

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Vol 334 - N° 2

P. 113-118 - janvier 2002 Retour au numéro
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  • Dorina Mitrea, Marius Mitrea
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  • Stabilization for viscous compressible heat-conducting media equations with nonmonotone state functions
  • Bernard Ducomet, Alexander Zlotnik

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