Consider an infinite dimensional diffusion process with state space T^Zd, where T is the circle, and defined by an infinitesimal generator L which acts on local functions f as Lf(η)=∑iZ^d(ai²(ηi)2∂²f∂ηi²+bi(η)∂f∂ηi). Suppose that the coefficients a_i and b_i are smooth, bounded, of finite range, have uniformly bounded second order partial derivatives, that a_i are uniformly bounded from below by some strictly positive constant, and that a_i is a function only of η_i. Suppose that there is a product measure ν which is invariant. Then if ν is the Lebesgue measure or if d=1,2, it is the unique invariant measure. Furthermore, if ν is translation invariant, it is the unique invariant, translation invariant measure. The proofs are elementary. Similar results can be proved in the context of an interacting particle system with state space {0,1}^Zd, with uniformly positive bounded flip rates which are finite range. To cite this article: A.F. Ramı́rez, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 139-144

Considérons une diffusion en dimension infinie avec un espace d'état T^Zd, où T est le cercle, et définie par un générateur infinitésimal L qui agit sur les fonctions locales f de la façon suivante : Lf(η)=∑iZ^d(ai²(ηi)2∂²f∂ηi²+bi(η)∂f∂ηi). Supposons que les coefficients a_i et b_i sont C^∞, bornés, de portée finie, ont des dérivées partielles du deuxième ordre qui sont uniformément bornées, que les a_i ont une borne inférieure uniforme qui est une constante strictement positive, et que a_i est une fonction seulement de η_i. Supposons qu'il y ait une mesure produit ν qui est invariante. Nous démontrons que si ν est égale à la mesure de Lebesgue ou si d=1,2, alors ν est la seule mesure invariante. D'autre part, si ν est invariante par translation, alors ν est la seule mesure invariante, invariante par translation. Les preuves sont élémentaires. Des résultats similaires peuvent etre démontrés dans le contexte de systèmes de particules avec un espace d'état {0,1}^Zd, avec des taux de saut uniformément positives, à portée finie et bornés. Pour citer cet article : A.F. Ramı́rez, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 139-144