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Théorèmes d'existence pour des équations avec l'opérateur « 1-Laplacien », première valeur propre pour −Δ1 - 04/04/08

Françoise Demengel
University of Cergy-Pontoise, site de Saint-Martin, 2, avenue Adolphe Chauvin, 95 000 Cergy-Pontoise, France 

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Note présentée par Philippe G. Ciarlet

Résumé

On considère des équations de la forme −divσ=f(x,u),u⩾0,u0,uBV(Ω),σ·u=|u|inΩ,|σ|L(Ω)⩽1,σ·n→(−u)=uon∂Ω, où Ω est un domaine borné de RN, uBV(Ω) et f(x,u)LN(Ω). On s'interesse au cas où f est constante et en particulier on définit la première valeur propre λ1 pour −div(σ(u)), on étudie les premières fonctions propres. Ensuite on considère pour λ>λ1 des conditions nécessaires et suffisantes d'existence de solutions non triviales et non négatives pour l'équation −divσ(u)=λ+fuq−1 (avec des conditions aux limites) et fL(Ω), 1<q⩽1=N/(N−1). Pour citer cet article : F. Demengel, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 1071-1076.

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Abstract

We consider partial differential equations of the form −divσ=f(x,u),u⩾0,u0,uBV(Ω),σ·u=|u|inΩ,|σ|L(Ω)⩽1,σ·n→(−u)=uon∂Ω, where Ω is some smooth bounded domain in RN, uBV(Ω) and f(x,u)LN(Ω). We consider the case where f=cte, define the first eigenvalue λ1 for −div(σ(u)), and study eigenfunctions. We consider then for λλ1 some necessary and sufficient conditions on f and the first eigenfunctions for existence of nontrivial solutions to −divσ(u)=λ+fuq−1 (with boundary conditions), fL(Ω), and 1<q⩽1=N/(N−1). To cite this article: F. Demengel, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 1071-1076.

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Vol 334 - N° 12

P. 1071-1076 - 2002 Retour au numéro
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