We consider a general second order elliptic equation with right-hand side f+∑j=0^N∂fj∂xjH⁻¹(Ω) where f,fjL²(Ω) and Dirichlet boundary condition gH^1/2(Γ). We prove a global Carleman estimate for the solution y of this equation in terms of the weighted L² norms of f and f_j and the H^1/2 norm of g. This estimate depends on two real parameters s and λ which are supposed to be large enough and is sharp with respect to the exponents of these parameters. This allows us to obtain, for example, sharper estimates on the pressure term in the linearized Navier-Stokes equations and it turns out to be very useful in the context of controllability problems. To cite this article: O.Y. Imanuvilov, J.-P. Puel, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 33-38.

On considère une équation elliptique du second ordre générale avec second membre f+∑j=0^N∂fj∂xjH⁻¹(Ω), f,fjL²(Ω) et condition de Dirichlet gH^1/2(Γ). On montre une estimation de Carleman globale pour la solution y de cette équation en termes de normes L² à poids de f et f_j et de la norme H^1/2 de g. Cette estimation dépend de deux paramètres réels s et λ qui sont supposés assez grands et est optimale en ce qui concerne les exposants de ces paramètres. Ceci nous permet d'obtenir, par exemple, des estimations fines sur la pression dans les équations de Navier-Stokes linéarisées et se révèle fort utile dans l'étude des problèmes de contrôlabilité. Pour citer cet article : O.Y. Imanuvilov, J.-P. Puel, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 33-38.