Dans cette Note, nous étudions l'image numérique et la compacité de certains opérateurs de composition, définis sur un espace de Hilbert de séries de Dirichlet introduit par Hedenmalm, Lindqvist et Seip. Nous montrons que dans la plupart des cas, zéro est un point intérieur à cette image numérique. L'étude de la compacité fait apparaître un phénomène rappelant le théorème de Polya sur les marches aléatoires en dimension d : si la longueur du symbole de l'opérateur est d+1, et l'image du symbole est non-triviale, alors l'opérateur est non compact si d=1 ; compact, non Hilbert-Schmidt, si d=2 ; Hilbert-Schmidt si d⩾3. Pour citer cet article : C. Finet et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 325-328.

In this Note, we study the numerical range and compacity of some composition operators, defined on a Hilbert space of Dirichlet series introduced by Hedenmalm, Linqvist and Seip. We show that most often, zero is the interior of this numerical range. The study of compacity exhibits a phenomenon which recalls Polya's theorem on random walks in dimension d: if the length of the symbol of the operator is d+1, and if its image is non-trivial, then the operator is non-compact if d=1; compact, non Hilbert-Schmidt, if d=2; Hilbert-Schmidt if d⩾3. To cite this article: C. Finet et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 325-328.