Finite index subgroups in profinite groups - 01/01/03
Nikolay Nikolov a , Dan Segal b
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Résumé |
We prove that every subgroup of finite index in a (topologically) finitely generated profinite group is open. This implies that the topology in such a group is uniquely determined by the group structure. The result follows from a uniformity theorem' about finite groups: given a group word that defines a locally finite variety and a natural number , there exists such that in every finite -generator group , each element of the verbal subgroup is a product of -values. Similar methods show that in a finite -generator group, each element of the derived group is a product of commutators; this implies that the (abstract) derived group in any finitely generated profinite group is closed. To cite this article: N. Nikolov, D. Segal, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003).
Résumé |
Le résultat principal est que tout sous-groupe d'indice fini dans un groupe profini de type fini est ouvert. Par conséquent, la topologie d'un tel groupe est uniquement déterminée par la structure de groupe sous-jacente. Ce résultat se déduit d'un « théorème d'uniformité » pour les groupes finis : soit un mot tel que la variété de groupes associée est localement finie, et soit un entier. Si est un groupe fini ayant générateurs, alors chaque élément du sous-groupe verbal est produit de valeurs de dans . On obtient des résultats analogues pour le sous-groupe dérivé. Pour citer cet article : N. Nikolov, D. Segal, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003).
Plan
Vol 337 - N° 5
P. 303-308 - septembre 2003 Retour au numéroBienvenue sur EM-consulte, la référence des professionnels de santé.
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