Soit un graphe  . Pour toute partie X de S est associé le sous-graphe   de G induit par X. Le dual de G est le graphe   où,  . Un graphe   est demi-isomorphe à G, sʼil est isomorphe à G ou à  . Soit un entier  . Un graphe  , ayant le même ensemble de sommets S que G, est  -demi-isomorphe à G lorsque pour toute partie X de S ayant au plus k sommets, les sous-graphes   et   sont demi-isomorphes. Le graphe G est  -demi-reconstructible lorsque tout graphe  -demi-isomorphe à G lui est demi-isomorphe. J. G. Hagendorf élargit ainsi, en 1993, la problématique de la reconstruction à la demi-reconstruction. J. G. Hagendorf et G. Lopez ont montré que les graphes finis sont  -demi-reconstructibles. Ensuite, en 2003, J. Dammak a caractérisé les graphes finis  -demi-reconstructibles. Dans cette Note nous étudions le cas général des graphes (finis et infinis). Nous caractérisons les graphes infinis  -demi-reconstructibles. Ensuite, nous étendons lʼétude de J. Dammak aux graphes infinis en caractérisant les graphes  -demi-reconstructibles. Pour citer cet article : N. El Amri, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

Let   be a graph. For every subset X of V is associated the subgraph   of G induced by X. The dual of G is the graph   such that,  . A graph   is half-isomorphic to G if it is isomorphic to G or  . Let k be a non negative integer. A graph   defined on the same vertex set V of G is  -half-isomorphic to G if for all subset X of V on at most k elements, the subgraphs   and   are half-isomorphic. G is called  -half-reconstructible provided that every graph   which is  -half-isomorphic to G is half-isomorphic to G. In 1993 J. G. Hagendorf expanded the reconstruction problematic to the half-reconstruction. J. G. Hagendorf and G. Lopez showed that the finite graphs are  -half-reconstructible. After that, in 2003, J. Dammak characterized the  -half-reconstructible finite graphs. In this Note we study the general case of graphs (finite and infinite). We characterize the  -half-reconstructible infinite graphs. Then, we extend the study made by J. Dammak to infinite graphs by characterizing the  -half-reconstructible infinite graphs. To cite this article: N. El Amri, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).