Nous considérons un cristal, constitué d'un substrat élastique et d'un film de faible épaisseur. Le cristal étant sous contrainte, sa surface devient instable et des rugosités peuvent apparaître. Pour étudier ces instabilités, nous utilisons le modèle développé dans Phys. Rev. B 47 (1993) 9760-9777. La carte   de la surface libre du film vérifie alors une équation aux dérivées partielles parabolique, qui fait intervenir le vecteur déplacement de la structure. Pour simplifier, nous supposons que la structure est linéairement élastique et infinie dans une direction. Alors, sous des hypothèses asymptotiques formelles, et avec des changements d'échelle appropriés, nous obtenons un développement formel du vecteur déplacement, ce qui nous permet de simplifier l'équation parabolique satisfaite par   comme dans Lods et al. (Asymptotic Anal. 33 (2003) 67-91). Nous présentons ici des résultats d'existence locale, d'unicité et d'explosion en temps fini de la solution du problème d'évolution de la surface du film. Nous effectuons également des validations numériques en utilisant une méthode pseudo-spectrale, bien adaptée au cas envisagé, et déterminons numériquement la valeur critique du paramètre   (dépendant de la condition initiale) intervenant dans l'équation (2). Pour citer cet article : M. Boutat et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003).

In this Note, we are interested in the evolution of a surface of a crystal structure, constituted by an elastic substrate and a thin film. If the crystal is constrained, some morphological instabilities may appear. To study these instabilities, we made use of the model developped in Phys. Rev. B 47 (1993) 9760-9777. There, the map   of the free surface of the film satisfies a parabolic partial differential equation, depending on the elastic displacement of the substrate. For simplicity, the substrate is assumed to be linearly elastic and the structure to be infinite in one direction. Then, under some formal asymptotic assumptions, a formal expansion of the displacement can be determined after some appropriate scalings, allowing to derive a simplified parabolic nonlinear equation as in Lods et al. (Asymptotic Anal. 33 (2003) 67-91). We give here some results about the finite-time blow-up and the existence and uniqueness of the solution in an appropriate space. To validate the theoretical results, we also performed some numerical simulations using a pseudo-spectral method and also compute the initial-profile dependent critical value of the parameter   involved in the nonlinear equation. To cite this article: M. Boutat et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003).