In this Note we prove a discrete version of the classical Ingham inequality for nonharmonic Fourier series whose exponents satisfy a gap condition. Time integrals are replaced by discrete sums on a discrete mesh. We prove that, as the mesh becomes finer and finer the limit of the discrete Ingham inequality is the classical continuous one. This analysis is partially motivated by control-theoretical applications. As an application we analyze the control/observation properties of numerical approximation schemes of the 1-d wave equation. The discrete Ingham inequality provides observability and controllability results which are uniform with respect to the mesh size in suitable classes of numerical solutions in which the high frequency components have been filtered. To cite this article: M. Negreanu, E. Zuazua, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004).

Dans cette Note nous prouvons une version discrète de l'inégalité classique d'Ingham pour les séries de Fourier non-harmoniques dont les exposants satisfont une condition de séparation ou « gap ». Les intégrales en temps sont remplacées par des sommes discrètes sur une maille. Nous prouvons que, lorsque la maille devient de plus en plus fine, la limite de l'inégalité discrète d'Ingham est l'inégalité classique continue. Cette analyse est partiellement motivée par des applications au contrôle et à l'observation des ondes. À l'aide de ce résultat, nous analysons les propriétés des schémas d'approximation numérique pour l'equation des ondes 1-d. L'inégalité discrète d'Ingham fournit des résultats d'observabilité et de contrôlabilité qui sont uniformes en ce qui concerne la maille dans les classes appropriées de solutions numériques dans lesquelles les composantes à haute fréquence ont été filtrées. Pour citer cet article : M. Negreanu, E. Zuazua, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004).