On considère la limite à grand nombre de particules d’un système hamiltonien de type « Toda périodique » pour une famille de conditions initiales proches de la solution d’équilibre. On montre que, dans la formulation de paire de Lax, les deux bords des spectres des matrices de Jacobi des conditions initiales sont déterminés, à une erreur près, par ceux de deux opérateurs de Hill, associés à la famille de conditions initiales considérées. On en déduit que les spectres des matrices de Jacobi, lors de l’évolution limite donnée par KdV, restent constants à une erreur près que nous estimons. Enfin on montre que les actions du système Toda, convenablement renormalisées, tendent vers celles des deux équations de KdV. Pour citer cet article : D. Bambusi et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

We consider the large number of particles limit of a periodic Toda lattice for a family of initial data close to the equilibrium state. We show that each of the two edges of the spectra of the corresponding Jacobi matrices is up to an error, determined by the spectra of two Hill operators, associated to this family. We then show that the spectra of the Jacobi matrices remain almost constant when the matrices evolve along the two limiting KdV equations. Finally we prove that the Toda actions, when appropriately renormalized, converge to the ones of KdV. To cite this article: D. Bambusi et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).