The asymptotic behavior of a class of nonlinear Schrödinger equations is studied. Particular cases of 1D weakly focusing and Bose-Einstein condensates are considered. A statistical approach is presented following Jordan and Josserand (Phys. Rev. E 61 (2000) 1527-1539) to describe the stationary probability density of a discretized finite system. Using a maximum entropy argument, the theory predicts that the statistical equilibrium is described by energy equivalued fluctuation modes around the coherent structure minimizing the Hamiltonian of the system. Good quantitative agreement is found with numerical simulations. In particular, the particle number spectral density follows an effective   law for the asymptotic large time averaged solutions. Transient dynamics from a given initial condition to the statistically steady regime show rapid oscillations of the condensate. To cite this article: C. Josserand, C. R. Physique 5 (2004).

Le comportement asymptotique des solutions d'équations différentielles hamiltoniennes est présenté dans le cas général des équations de Schrödinger nonlinéaires. Ce travail reprend une étude précédente s'appuyant sur une description statistique de l'espace des phases de la solution (Phys. Rev. E 61 (2000) 1527-1539). La recherche de la distribution stationnaire à l'équilibre statistique s'effectue pour la dynamique discrète en maximisant l'entropie autour de la solution concentrant toute la masse du système. On trouve alors que la distribution d'équilibre correspond à l'équipartition statistique de l'énergie en excès sur tous les modes accessibles. Les simulations numériques sur un modèles faiblement focalisant et dans le cas particulier d'un modèle 1D de condensat de Bose-Einstein permettent de montrer un bon accord quantitatif avec les prédictions de la théorie. Pour citer cet article : C. Josserand, C. R. Physique 5 (2004).