Équivalence élémentaire de puissances cartésiennes d'un même groupe - 04/12/10

Doi : 10.1016/j.crma.2010.10.034

Anatole Khelif ^a , Saharon Shelah ^b
^a Équipe de logique mathématique, université Paris Diderot Paris 7, UFR de mathématiques, case 7012, site Chevaleret, 75205 Paris cedex 13, France
^b Institute of Mathematics, The Hebrew University of Jerusalem, Jerusalem 91904, Israël

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Résumé

Nous démontrons que si I et J sont des ensembles infinis et G un groupe commutatif de torsion les groupes et sont élémentairement équivalents pour la logique . La démonstration utilise de façon essentielle une propriété nouvelle et simple « à la Cantor–Bernstein ».

Un critère s'appliquant à des groupes noncommutatifs nous permet d'exhiber divers groupes (libres ou résolubles ou nilpotents ou …) G tels que pour I infini dénombrable et J non dénombrable les groupes et ne sont même pas élémentairement équivalents pour la logique . Nous construisons à la main un groupe commutatif dénombrable ayant la même propriété.

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Abstract

We prove that if I and J are infinite sets and G a commutative torsion group, the groups and are elementarily equivalent for the logic . The proof is based on a new and simple property with a Cantor–Bernstein flavour.

A criterion applying to non-commutative groups allows us to exhibit various groups (free or soluble or nilpotent or …) G such that for I infinite countable and J uncountable the groups and are not even elementarily equivalent for the logic. Another argument leads to a countable commutative group having the same property.