A total outer-independent dominating set of a graph G is a set D of vertices of G such that every vertex of G has a neighbour in D, and the set   is independent. The total outer-independent domination number of a graph G, denoted by  , is the minimum cardinality of the total outer-independent dominating set of G. We prove that for every nontrivial tree T of order n with l leaves we have  , and we characterize the trees attaining this lower bound.

Un sous-ensemble totalement dominant et extérieurement indépendant d'un graphe est un sous-ensemble D des sommets de G tel que chaque sommet de G ait un voisin dans D et l'ensemble   soit indépendant. Le plus petit cardinal d'un tel sous-ensemble est noté  . Nous démontrons que pour tout arbre T non trivial, d'ordre n avec l feuilles, nous avons  . De plus, nous caractérisons les arbres réalisant cette borne inférieure.