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Asymptotically conformal similarity between Julia and Mandelbrot sets - 16/03/11

Doi : 10.1016/j.crma.2011.01.010 
Jacek Graczyk a , Grzegorz Świa̧tek b
a Laboratoire de mathématique, université de Paris-Sud, 91405 Orsay cedex, France 
b Laboratoire de mathématique et informatique, École polytechnique de Varsovie, 00-661 Varsovie, Pl. Politechniki 1, Poland 

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Abstract

An almost conformal local similarity between the connectedness locus   and the corresponding Julia set is true for almost every point of   with respect to harmonic measure. The harmonic measure is supported on Lebesgue density points of the complement of   which are not accessible from outside within John angles and at which the boundary of   spirals infinitely often in both directions. A more general result can be obtained for   in terms of the renormalization property. Finally, we prove that for almost all   in the sense of harmonic measure the Lyapunov exponent of c under iterates of   is equal to  .

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Résumé

En presque tout point c par rapport à la mesure harmonique, le lieu de connectivité   est asymptotiquement similaire au sens conforme à lʼensemble de Julia   près de c. Tout point de concentration de la mesure harmonique est un point de densité du complémentaire de   qui nʼest pas bien accessibles du complémentaire de  , autour duquel la frontière de   est en spirale une infinité de fois dans deux directions opposées. Pour lʼensemble de Mandelbrot   on peut obtenir un résultat plus général en terme de la propriété de renormalisation. Finalement, on démontre que pour presque toute valeur de   par rapport à la mesure harmonique, lʼexposant de Lyapunov de c sous la dynamique de   est égal à  .

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Vol 349 - N° 5-6

P. 309-314 - mars 2011 Retour au numéro
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