Soient G un groupe de Lie réel, Λ un réseau de G,   un sous-groupe semi-simple connexe sans facteur compact et Γ un sous-semigroupe Zariski dense de H. On montre que toute adhérence de Γ-orbite dans le quotient   est homogène. Soit μ une probabilité sur H dont le support est compact et engendre un sous-semigroupe Zariski dense de H. On montre que toute probabilité μ-stationnaire μ-ergodique sur X est homogène.

Let G be a real Lie group, Λ be a lattice of G, H be a connected semisimple subgroup of G with no compact factor and Γ be a Zariski dense sub-semigroup of H. We prove that every Γ-orbit closure in the quotient space   is homogeneous. Let μ be a probability measure on G whose support is compact and spans Γ. We prove that every μ-stationary μ-ergodic probability measure on X is Γ-invariant and homogeneous.