Let   be a sequence of random variables with   and  . We are interested in asymptotic properties of solutions of the distributional equation  , where   are nonnegative random variables independent of each other and independent of  , each has the same distribution as Z which is unknown. For a solution   with finite mean, we show that under a natural moment condition, the regular variation of     is equivalent to that of  , where  . The results generalize the corresponding theorems of Bingham and Doney (1974, 1975) [[1], [2]] and de Meyer (1982) [[6]] on Galton–Watson processes and Crump–Mode–Jirina processes, and improve those of Iksanov and Polotskiy (2006) [[7]] on branching random walks.

Soit   une suite de variables aléatoires avec   et  . Nous nous sommes intéressés aux propriétés asymptotiques des solutions de lʼéquation en distribution  , où   sont des variables aléatoires non-négatives, mutuellement indépendantes et indépendantes de  , chacune a la même loi que Z qui est inconnue. Pour une solution   de moyenne finie, nous montrons que sous une condition de moment naturelle, la variation régulière de la probabilité de queue     est équivalente à celle de  , où  . Les résultats généralisent les théorèmes correspondants de Bingham et Doney (1974, 1975) [[1], [2]] et de Meyer (1982) [[6]] sur les processus de Galton–Watson et de Crump–Mode–Jirina, et améliorent ceux dʼIksanov et Polotskiy (2006) [[7]] sur les marches aléatoires branchantes.