Si   pour tout  , on montre que la série à 2 variables   se factorise formellement en un triple produit infini qui généralise la formule de Jacobi. Soit   la racine positive de  , on prouve la convergence de la factorisation de Q pour   et   avec  . On en déduit que si   on peut calculer explicitement chaque zéro de la série de Laurent   comme la somme ou lʼinverse de la somme de séries dont les termes sont des expressions polynomiales des  . Si lʼinégalité précédente est large et   réelle, tous ses zéros sont réels. Une autre application consiste, lorsquʼon connait la factorisation en triple produit de   par une autre voie que celle décrite dans la note, à les identifier. Ainsi avec la fonction theta de Jacobi, on a obtenu une identité nouvelle pour la somme des diviseurs   dʼun entier.

If   for all  , we show the series with 2 variables   factorizes formally in an infinite triple product, which generalizes the Jacobiʼs formula. Let   be the positive root of  , we prove the convergence of the factorization of Q for   and   with  . We deduce that if   each zero of the Laurent series   can be explicitly calculated as the sum or the inverse of the sum of series, whose terms are polynomial expressions of  . If the previous inequality is wide and   real, then all its zeros are real numbers. An other application is when you know the triple product factorization of   by another way than described in the note, to identify them. So with the Jacobi theta function, we obtained a new identity for the sum of divisors   of an integer.