We addressed, in a previous note [C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003) 779-784], the numerical solution of the Dirichlet problem for the two-dimensional elliptic Monge-Ampère equation, namely:   in ,   on (  and  , here). The method discussed previously relies on an augmented Lagrangian algorithm operating in the space   and related functional spaces of symmetric tensor-valued functions. In the particular case where the above problem has no solution in  , while the data f and g verify  , there is strong evidence that the augmented Lagrangian algorithm discussed in previously converges-in some sense-to a least squares solution belonging to  . Our goal in this note is to discuss a least-squares based alternative solution method for the Monge-Ampère Dirichlet problem. This method relies on the minimization on the set   (with  ) of a well-chosen least-squares functional. From a practical point of view we solve the above minimization problem via a relaxation type algorithm, operating alternatively in   and   and very easy to combine to the mixed finite element approximations employed in the earlier work. Numerical experiments show that the above method has good convergence properties when the Monge-Ampère Dirichlet problem has solutions in  ; they show also that, for cases where the above problem has no solution in  , while neither   nor   are empty, the new method reproduces the solutions obtained via the augmented Lagrangian approach, but faster. To cite this article: E.J. Dean, R. Glowinski, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 339 (2004).

La résolution numérique du problème de Dirichlet pour lʼéquation de Monge-Ampère elliptique bi-dimensionelle, soit :   in ,   on (ici,   et  ), a été étudiée dans une note précédente [C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003) 779-784]. La méthode décrite là, repose sur un algorithme de Lagrangien augmenté opérant dans lʼespace   et des espaces associés de fonctions à valeurs tensorielles symétriques. Dans les cas où le problème ci-dessus nʼa pas de solution dans  , alors que les données f and g verifient  , diverses observations et analogies suggèrent fortement que lʼalgorithme de Lagrangien augmenté décrit dans notre note précédente converge-en un certain sens-vers une solution appartenant à   et du type moindres carrés. Lʼobjet de cette note est la résolution du problème de Monge-Ampère Dirichlet, directement par une méthode de moindres carrés. Cette méthode repose sur la minimisation sur lʼensemble   (avec  ), dʼune fonction coût bien choisie, de type moindres carrés. Dʼun point de vue pratique, on résout le problème de minimisation ci-dessus par un algorithme de type relaxation qui opère alternativement dans   et   ; cet algorithme est facile à combiner aux approximations par élements finis mixtes utilisées dans la note précédente. Des essais numériques montrent que la méthode de moindres carrés ci-dessus a de bonnes propriétés de convergence quand le problème de Monge-Ampère Dirichlet a des solutions dans   ; ces essais montrent également que lorsque problème ci-dessus nʼa pas de solution dans  , bien que   et   soient non vides, la nouvelle méthode reproduit les solutions obtenues par Lagrangien augmenté, mais ce plus rapidement. Pour citer cet article : E.J. Dean, R. Glowinski, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 339 (2004).