In this Note, we study a two-grid scheme fully discrete in time and space for solving the Navier-Stokes system. In the first step, the fully non-linear problem is discretized in space on a coarse grid with mesh-size H and time step k. In the second step, the problem is discretized in space on a fine grid with mesh-size h and the same time step, and linearized around the velocity   computed in the first step. The two-grid strategy is motivated by the fact that under suitable assumptions, the contribution of   to the error in the non-linear term, is measured in the   norm in space and time, and thus has hopefully a higher-order than if it were measured in the   norm in space. We present the following results: if   then the global error of the two-grid algorithm is of the order of h, the same as would have been obtained if the non-linear problem had been solved directly on the fine grid. To cite this article: H. Abboud et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005).

Dans cette Note, nous étudions un schéma à deux grilles pour le problème de Navier-Stokes instationnaire totalement discrétisé par une méthode dʼéléments finis en espace. Dans la première étape, le problème non-linéaire est discrétisé en espace et en temps sur une grille grossière de pas dʼespace H avec un pas de temps k. Puis dans la deuxième étape le problème est discrétisé en espace sur une grille fine de pas dʼespace h et le même pas de temps autour de la vitesse   calculée à lʼétape précédente. Lʼidée de la méthode à deux grilles est que, sous des hypothèses adéquates, la contribution de   à lʼerreur dans le terme non-linéaire en espace, est mesurée en norme   en espace et en temps et a un ordre plus élevé que si elle était mesurée en norme  . Nous présentons les résultats suivants : si   alors lʼerreur globale de lʼalgorithme à deux grilles est de lʼordre de h, résultat identique à celui de la résolution directe du problème non-linéaire sur une grille fine. Pour citer cet article : H. Abboud et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005).