A curvature-dimension condition for metric measure spaces - 01/01/05
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Abstract |
We present a curvature-dimension condition for metric measure spaces . In some sense, it will be the geometric counterpart to the Bakry-Émery [D. Bakry, M. Émery, Diffusions hypercontractives, in: Séminaire de Probabilités XIX, in: Lecture Notes in Math., vol. 1123, Springer, Berlin, 1985, pp. 177-206. [1]] condition for Dirichlet forms. For Riemannian manifolds, it holds if and only if and for all . The curvature bound introduced in [J. Lott, C. Villani, Ricci curvature for metric-measure spaces via optimal transport, Annals of Math., in press. [4]; K.T. Sturm, Generalized Ricci bounds and convergence of metric measure spaces, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005) 235-238. [6]; K.T. Sturm, On the geometry of metric measure spaces. I, Acta Math., in press. [7]] is the limit case .
Our curvature-dimension condition is stable under convergence. Furthermore, it entails various geometric consequences e.g. the Bishop-Gromov theorem and the Bonnet-Myers theorem. In both cases, we obtain the sharp estimates known from the Riemannian case. To cite this article: K.-T. Sturm, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).
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Nous présentons une condition de type courbure-dimension pour des espaces métriques mesurés , qui peut être considérée comme une contrepartie géométrique de celle de Bakry-Émery [D. Bakry, M. Émery, Diffusions hypercontractives, in: Séminaire de Probabilités XIX, in: Lecture Notes in Math., vol. 1123, Springer, Berlin, 1985, pp. 177-206. [1]] pour les formes de Dirichlet. Pour les variétés riemanniennes, elle est satisfaite si et seulement si et pour tout . La borne de la courbure [J. Lott, C. Villani, Ricci curvature for metric-measure spaces via optimal transport, Annals of Math., in press. [4] ; K.T. Sturm, Generalized Ricci bounds and convergence of metric measure spaces, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005) 235-238. [6] ; K.T. Sturm, On the geometry of metric measure spaces. I, Acta Math., in press. [7]] est le cas limite .
Notre condition est stable pour la convergence. Elle comporte des conséquences géométriques diverses, comme les théorèmes de Bishop-Gromov et de Bonnet-Myers. Dans les deux cas, on obtient des estimations optimales connues dans le cas riemannien. Pour citer cet article : K.-T. Sturm, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).
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Vol 342 - N° 3
P. 197-200 - février 2006 Retour au numéroBienvenue sur EM-consulte, la référence des professionnels de santé.
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