This Note is devoted to the study of a complete second order differential equation of elliptic type with variable operators coefficients and Dirichlet inhomogeneous boundary conditions. We give necessary and sufficient conditions on the data for the existence and uniqueness of the strict solution by using some natural differentiability assumptions on the resolvent operators of the square roots characterizing the ellipticity. The techniques used here are essentially based on the semigroups theory and the fractional powers of linear operators.

Cette Note est consacrée à lʼétude dʼune équation différentielle complète du second ordre de type elliptique et à coefficients opérateurs variables avec des conditions aux limites de Dirichlet non homogènes. On donne des conditions nécessaires et suffisantes sur les données pour lʼexistence et lʼunicité de la solution stricte en utilisant des hypothèses naturelles sur la différentiabilité des résolvantes des racines carrées des opérateurs caractérisant lʼellipticité. Les techniques utilisées ici sont basées essentiellement sur la théorie des semi-groupes et les puissances fractionnaires dʼopérateurs linéaires.