A Note on the Bernstein property of a fourth order complex partial differential equations

For a smooth strictly plurisubharmonic function u on an open set   and F a   nondecreasing function on  , we investigate the complex partial differential equations
Δglogdet(uij¯)=F(det(uij¯))‖∇glogdet(uij¯)‖g2, where  ,   and   are the Laplacian, tensor norm and the Levi-Civita connexion, respectively, with respect to the Kähler metric  . We show that the above PDEʼs has a Bernstein property, i.e.   is constant on Ω, provided that g is complete, the Ricci curvature of g is bounded below and F satisfies   and  .

Pour une fonction u strictement plurisouharmonique de classe   sur un ouvert Ω de   et F une fonction de classe   croissante sur  , on considère lʼéquation aux dérivées partielles complexes
Δglogdet(uij¯)=F(det(uij¯))‖∇glogdet(uij¯)‖g2, où  ,   et   sont respectivement le Laplacian, la norme et la connexion de Levi-Civita par rapport à la métrique Kählerienne  . On montre que lʼEDP précédente vérifie la propriété de Bernstein, i.e.   est constante sur Ω, pourvu que g soit complète, la courbure de Ricci de g soit minorée et F satisfasse   et  .