Le but de cette Note est de proposer de nouveaux modèles diffusifs capillaires de type Korteweg et dʼanalyser leurs propriétés mathématiques. Plus précisemment, on propose quelques modèles visqueux qui fournissent une information supplémentaire sur le comportement de la densité au voisinage du vide. On prouve en fait quʼune certaine relation de compatibilité entre la diffusion et la capillarité induit de la régularité sur une quantité liée à la densité. On obtient ainsi une égalité non triviale provenant de la structure particulière de lʼéquation de quantité de mouvement. Cette Note étend des travaux précédents réalisés par les auteurs sur le modèle de Korteweg (avec coefficient de capillarité constante) et sur les équations de Saint-Venant avec tension de surface. Pour citer cet article : D. Bresch, B. Desjardins, C. R. Mecanique 332 (2004).

The purpose of this Note is to propose new diffusive capillary models of Korteweg type and discuss their mathematical properties. More precisely, we introduce viscous models which provide some additional information on the behavior of the density close to vacuum. We actually prove that if some compatibility conditions between diffusion and capillarity are satisfied, some extra regularity information on a quantity involving the density is available. We obtain a non-trivial equality deduced from the special structure of the momentum equation. This Note generalizes to some extent the authorsʼ previous works on the Korteweg model (with constant capillary coefficient) and on the shallow water equation. To cite this article: D. Bresch, B. Desjardins, C. R. Mecanique 332 (2004).