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Singular limits for the Riemann problem: general diffusion, relaxation, and boundary conditions - 15/02/08

Doi : 10.1016/j.crma.2006.11.015 
Kayyunnapara T. Joseph a , Philippe G. LeFloch b
a School of Mathematics, Tata Institute of Fundamental Research, Homi Bhabha Road, Mumbai 400005, India 
b Laboratoire Jacques-Louis Lions & Centre national de la recherche scientifique, UMR 7598, Université Pierre et Marie Curie (Paris VI), 75252 Paris cedex 05, France 

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Abstract

We consider self-similar approximations of non-linear hyperbolic systems in one space dimension with Riemann initial data, especially the system  , with  . We assume that the matrix   is strictly hyperbolic and that the diffusion matrix satisfies  . No genuine non-linearity assumption is required. We show the existence of a smooth, self-similar solution   which has bounded total variation, uniformly in the diffusion parameter  . In the limit  , the functions   converge towards a solution of the Riemann problem associated with the hyperbolic system. A similar result is established for the relaxation approximation  ,  . We also cover the boundary-value problem in a half-space for the same regularizations. To cite this article: K.T. Joseph, P.G. LeFloch, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Nous considérons les approximations auto-semblables dʼun système hyperbolique non-linéaire à une dimension dʼespace avec donnée initiale de type « problème de Riemann », en particulier le système  , avec  . Nous supposons que la matrice   est strictement hyperbolique et que la matrice de diffusion satisfait  . Aucune hypothèse de « vraie non-linéarité » nʼest imposée. Nous démontrons que ce problème admet une solution régulière, auto-semblable   de variation totale uniformément bornée par rapport au paramètre de diffusion  . Lorsque  , les fonctions   convergent vers une solution du problème de Riemann associé au système hyperbolique. Nous établissons aussi un résultat analogue pour les approximations par relaxation données par  ,  . Ces résultats sont finalement étendus au problème de Riemann associé à ces mêmes régularisations et posé dans un demi-espace avec condition au bord. Pour citer cet article : K.T. Joseph, P.G. LeFloch, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).

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Vol 344 - N° 1

P. 59-64 - janvier 2007 Retour au numéro
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