Cette Note a pour objet de présenter une technique générique de démonstration de la convergence dʼune large classe dʼestimateurs récursifs, par lʼusage de techniques dʼapproximation stochastique. À titre dʼillustration de cette méthode, on donne une preuve alternative de convergence de lʼestimateur de densité introduit par Wagner et Wolverton. La preuve proposée part de résultats généraux sur les algorithmes stochastiques à valeurs dans un espace de Hilbert. Puis, on montre comment cette nouvelle preuve peut être facilement réutilisée pour montrer la convergence dʼestimateurs récursifs de la densité ou de fonctions de régression y compris en présence de contraintes. Pour citer cet article : K. Barty et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).

We propose in this Note a way to study the convergence of statistical recursive estimates. As an illustration, we provide a convergence proof for the well-known recursive density estimate introduced by Wagner and Wolverton. This alternative proof is based on results on Hilbert-valued stochastic approximation schemes, and provides an insight on recursive density estimation seen as minimization problems. Indeed, recursive statistical estimates such as Wagner-Wolvertonʼs estimate can be seen as stochastic algorithms with values in a functional space which turns out to be here an Hilbert space. Hence, we can embed the field of recursive statistical estimation into the field of Hilbert-valued stochastic approximation and propose a systematic approach to prove the convergence of statistical recursive estimates, like density estimates or regression function estimates. Moreover, this systematic approach enables to take into account various constraints on the estimates like bounds or measurability. To cite this article: K. Barty et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).