Generalized differentiation and bi-Lipschitz nonembedding in

We consider Lipschitz mappings,  , where X is a doubling metric measure space which satisfies a Poincaré inequality, and V is a Banach space. We show that earlier differentiability and bi-Lipschitz nonembedding results for maps,  , remain valid when   is replaced by any separable dual space. We exhibit spaces which bi-Lipschitz embed in  , but not in any separable dual V. For certain domains, including the Heisenberg group with its Carnot-Caratheodory metric, we establish a new notion of differentiability for maps into  . This implies that the Heisenberg group does not bi-Lipschitz embed in  , thereby proving a conjecture of J. Lee and A. Naor. When combined with their work, this has implications for theoretical computer science. To cite this article: J. Cheeger, B. Kleiner, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).

Nous considérons des applications lipchitziennes,  , où X est un espace métrique mesuré tel que lʼon contrôle le volume des boules par doublement du rayon et qui satisfait à une inégalité de Poincaré, et où V est un espace de Banach. On montre que des résultats antérieurs de différentiabilité et de non plongement bilipschitzien pour des applications  , restent valables quand on suppose que V est un dual séparable. Nous donnons des exemples dʼespaces plongés de manière bilipschitzienne dans  , mais qui ne sont plongeables dans aucun dual séparable. Pour certains espaces, dont le groupe dʼHeisenberg muni de la métrique de Carnot-Caratheodory, on établit une nouvelle notion de différentiabilité pour des applications dans  . Ceci implique que le groupe de Heisenberg ne possède aucun plongement bilipschitzien dans  , un résultat conjecturé par J. Lee et A. Naor. Quand il est combiné avec des résultats de ces deux auteurs, notre travail a des applications en informatique théorique. Pour citer cet article : J. Cheeger, B. Kleiner, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).