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Long-time asymptotics for the focusing NLS equation with time-periodic boundary condition - 15/02/08

Doi : 10.1016/j.crma.2007.10.018 
Anne Boutet de Monvel a , Alexander Its b , Vladimir Kotlyarov c
a Institut de mathématiques de Jussieu, case 7012, Université Paris 7, 2, place Jussieu, 75251 Paris cedex 05, France 
b Indiana University - Purdue University, Indianapolis, IN 46202-3216, USA 
c Institute for Low Temperature Physics, 47 Lenin Avenue, 61103 Kharkiv, Ukraine 

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Abstract

We consider the focusing nonlinear Schrödinger equation on the quarter plane. Initial data vanish at infinity while boundary data are time-periodic ( ). The goal of this Note is to study the asymptotic behavior of the solution of this initial-boundary-value problem. The main tool is the asymptotic analysis of an associated matrix Riemann-Hilbert problem. We show that the solution of the IBV problem has different asymptotic behaviors in different regions. In the region   ( ) the solution has the form of a Zakharov-Manakov vanishing asymptotics. In the region  , where N is an integer, the solution behaves as a finite train of asymptotic solitons. In the region   the solution is a modulated elliptic wave. Finally, in the sector   the solution is a plane wave. To cite this article: A. Boutet de Monvel et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Nous considérons lʼéquation de Schrödinger non linéaire focalisante sur le premier quadrant ( ,  ), avec donnée initiale décroissante à lʼinfini et donnée au bord t-périodique, de la forme  . Notre objectif est dʼétudier le comportement asymptotique de la solution de ce problème aux limites. Notre méthode consiste à faire lʼanalyse asymptotique dʼun problème de Riemann-Hilbert matriciel associé. Nous montrons que la solution du problème aux limites a des comportements asymptotiques différents suivant la région dans laquelle   tend vers lʼinfini. Dans le secteur  , pour  , le comportement asymptotique est décrit par des formules du type de Zakharov-Manakov. Dans la région  , où N est un entier, la solution se comporte comme un train fini de solitons asymptotiques. Dans le secteur   la solution est comme une onde elliptique modulée. Enfin, dans le secteur   la solution se comporte comme une onde plane. Pour citer cet article : A. Boutet de Monvel et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).

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Vol 345 - N° 11

P. 615-620 - décembre 2007 Retour au numéro
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