Under quite general assumptions on  , we study integro-differential operators   of the form
(1)(Lu)(x)=2lim0yRd|y-x|>(u(y)-u(x))k(x,y)dy. Our assumptions on k imply that there is   such that   stays bounded for small  . Let   be a bounded open set. Set  . We call a function    -harmonic in if for any  (2)E(u,)=RdRd(u(y)-u(x))((y)-(x))k(x,y)dxdy=0. The aim of this Note is to prove local bounds for  -harmonic functions. The main results says that functions   which are  -harmonic in the ball B satisfy a priori estimates in   for some   and any  . The results can be seen as a generalization of the so-called De Giorgi-Nash-Moser theory to integro-differential operators of order  . To cite this article: M. Kassmann, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).

Sous des conditions générales pour  , nous étudions les opérateurs intégro-différentiels   de type (1). Nos conditions pour k impliquent quʼil existe un   tel que   reste borné pour de petits  . Soit   un ouvert borné. Soit  . Une fonction   est nommée  -harmonique en si pour tout    . Le but de cette Note est de trouver des bornes locales pour des fonctions  -harmoniques. Les principaux resultats démontrent que des fonctions   qui sont  -harmoniques dans la boule B satisfont des estimations a priori dans   pour un   et pour tout  . Les résultats de ce travail peuvent être regardés comme une généralisation de la théorie dite De Giorgi-Nash-Moser aux opérateurs integro-differentiels dʼordre  . Pour citer cet article : M. Kassmann, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).