In this note we present a symbolic pseudo-differential calculus on any graded (nilpotent) Lie group and, as an application, a version of the sharp Gårding inequality. As a corollary, we obtain lower bounds for positive Rockland operators with variable coefficients as well as their Schwartz-hypoellipticity.

Dans cette note nous présentons un calcul pseudo-différentiel symbolique sur tous les groupes de Lie (nilpotents) gradués et, comme application, une version de lʼinégalité de Gårding. En découlent des bornes inférieures pour des opérateurs de Rockland positifs à coefficients variables ainsi que leur hypo-ellipticité Schwartz.