Soient   un espace de probabilité et X un espace de Banach. On montre que les espaces X et   sont complémentés dans   et  , respectivement, si et seulement si   est complémenté dans son bidual,  . Si  , il faut considérer   au lieu de  .

Dans la suite, on suppose que X contient une copie de  . En construisant une copie convenable de   dans   lorsque μ est sans atome, on montre que   nʼest pas complémenté dans  ,  .

Soit E le sous espace fermé de   définissant des opérateurs :  , où Z est un sous espace fermé de  . On construit une copie de   dans E lorsque   nʼest pas isomorphe à un espace de Hilbert. On en déduit que, si de plus   ne contient pas de copie de  , lʼespace   nʼest pas complémenté dans E.

Les deux premiers résultats sont connus pour  , en remplaçant   par sa copie isométrique  .

Let   be a probability space and X a Banach space. We first show that X and   are complemented in   and  , respectively, if and only if   is complemented in its bidual,  . If  , one considers   instead of  .

We now assume that X contains a copy of  . By constructing a suitable copy of   in   if μ is atomless, we show that   is not complemented in  ,  .

Let E be the closed subspace of   defining operators:  , where Z is a closed subspace of  . We construct a copy of   in E when   is not isomorphic to a Hilbert space. We deduce that, if moreover   contains no copy of  , the subspace   is not complemented in E.

The first two results are known for  , replacing   by its isometric copy  .