For mean-field type control problems, stochastic dynamic programming requires adaptation. We propose to reformulate the problem as a distributed control problem by assuming that the PDF ρ of the stochastic process exists. Then we show that Bellman's principle applies to the dynamic programming value function  , where the dependency on   is functional as in P.-L. Lions' analysis of mean-field games (2007) [[10]]. We derive HJB equations and apply them to two examples, a portfolio optimization and a systemic risk model.

Pour les problèmes de contrôle stochastique à champs moyen, la programmation dynamique ne s'applique pas sans adaptation ; mais si l'on reformule le problème avec l'équation de Fokker–Planck, on peut le faire en utilisant une fonctionnelle valeur   comme dans l'analyse des problèmes de jeux à champs moyen par P.-L. Lions (2007) [[10]]. Les résultats sont appliqués à un problème d'optimisation de portefeuille et à un problème de risque systémique.