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Une notion de multizêtas finis associée au Frobenius du groupe fondamental de - 15/10/15

Doi : 10.1016/j.crma.2015.07.008 
David Jarossay
 Institut de mathématiques de Jussieu Paris Rive-Gauche, Université Paris-Diderot, 75005 Paris, France 

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Résumé

Nous montrons que les sommes harmoniques multiples de la forme
∑apk<n1<…<nd<(a+1)pk1n1s1…ndsd,pour a∈Z,k∈N⁎,sd,…,s1∈N⁎, admettent un développement canonique simple en termes de multizêtas p-adiques. Plus généralement, nous interprétons géométriquement la multiplication par p de la borne supérieure d'une somme harmonique multiple. Cela équivaut à l'inversion des sommes de séries qui expriment les multizêtas p-adiques. Le résultat entraîne la définition d'une notion de multizêtas finis qui est d'origine géométrique ; il donne un cadre pour étudier les propriétés algébriques des sommes harmoniques multiples dont la borne supérieure est une puissance d'un nombre premier. Le résultat a aussi des applications à une conjecture de Kaneko et Zagier.

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Abstract

We show that multiple harmonic sums of the form
∑apk<n1<…<nd<(a+1)pk1n1s1…ndsd,for a∈Z,k∈N⁎,sd,…,s1∈N⁎, admit a simple canonical expansion in terms of p-adic multiple zeta values. More generally, we interpret geometrically the multiplication by p of the upper bound of a multiple harmonic sum. This is equivalent to the inversion of the sums of series that express p-adic multiple zeta values. The result leads to the definition of a notion of finite multiple zeta values that is of geometric origin; it gives a framework to study the algebraic properties of those multiple harmonic sums whose upper bound is a power of a prime number. The result also has applications to a conjecture of Kaneko and Zagier.

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Vol 353 - N° 10

P. 877-882 - octobre 2015 Retour au numéro
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  • Un cadre explicite pour les polylogarithmes multiples p-adiques et les multizêtas p-adiques
  • David Jarossay
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  • On convergence almost everywhere of series of dilated functions
  • Michel J.G. Weber

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