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Trimness of closed intervals in Cambrian semilattices - 06/02/16

Doi : 10.1016/j.crma.2015.12.004 
Henri Mühle
 LIAFA, Université Paris Diderot, Case 7014, F-75205 Paris Cedex 13, France 

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Abstract

In this article, we give a short algebraic proof that all closed intervals in a γ-Cambrian semilattice   are trim for any Coxeter group W and any Coxeter element  . This means that if such an interval has length k, then there exists a maximal chain of length k consisting of left-modular elements, and there are precisely k join- and k meet-irreducible elements in this interval. Consequently, every graded interval in   is distributive. This problem was open for any Coxeter group that is not a Weyl group.

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Dans cet article, nous donnons une démonstration courte et algébrique du fait que tous les intervalles bornés d'un demi-treillis γ-cambrien   sont sveltes pour tout groupe de Coxeter W et tout élément de Coxeter  . Cela signifie que, si un tel intervalle a pour longueur k, il existe une chaîne de longueur k consistant en éléments modulaires à gauche, et il y a exactement k éléments sup-irréductibles et k éléments inf-irréductibles. En conséquence, il s'ensuit que chaque intervalle gradué est distributif. Ce problème était ouvert pour tout groupe de Coxeter qui n'est pas un groupe de Weyl.

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Keywords : Cambrian semilattice, Tamari lattice, Coxeter group, Sortable elements, Trimness


Plan


 This work was funded by the FWF Research Grant No. Z130-N13, and by a Public Grant overseen by the French National Research Agency (ANR) as part of the “Investissements d'Avenir” Program (Reference: ANR-10-LABX-0098).


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Vol 354 - N° 2

P. 113-120 - février 2016 Retour au numéro
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  • Alexander E. Litvak, Anna Lytova, Konstantin Tikhomirov, Nicole Tomczak-Jaegermann, Pierre Youssef

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