We introduce and study differential-reflection operators   acting on smooth functions defined on  . Here A is a Sturm–Liouville function with additional hypotheses and  . For special pairs  , we recover Dunkl's, Heckman's and Cherednik's operators (in one dimension).

As, by construction, the operators   are mixture of   and reflection operators, we prove the existence of an operator   so that  . The positivity of the intertwining operator   is also established.

Via the eigenfunctions of  , we introduce a generalized Fourier transform  . For   and  , we develop an  -Fourier analysis for  , and then we prove an  -Schwartz space isomorphism theorem for  .

Details of this paper will be given in other articles [[3]] and [[4]].

Nous introduisons et étudions des opérateurs différentiels aux différences   agissant sur les fonctions régulières définies sur  . Ici A est une fonction de Sturm–Liouville avec des hypothèses supplémentaires et  . Pour des cas particuliers de paires  , nous obtenons les opérateurs de Dunkl, de Heckman et de Cherednik (unidimensionnels).

Comme, par construction, les opérateurs   entremêlent   et des opérateurs de réflexion, nous prouvons qu'il existe un opérateur   tel que  . La positivité de l'opérateur   a été établie.

À l'aide des fonctions propres de  , nous introduisons une transformée de Fourier généralisée  . Nous développons de l'analyse de Fourier de type   pour   quand   et  , et nous caractérisons l'image des p-espaces de Schwartz par  .

Les détails seront publiés dans d'autres articles [[3]] et [[4]].