We study a random process on   moving in straight lines and changing randomly its velocity at random exponential times. We focus more precisely on the Kolmogorov equation in the hyperbolic scale  , with  , before proceeding to a Hopf–Cole transform, which gives a kinetic equation on a potential. We show convergence as   of the potential towards the viscosity solution to a Hamilton–Jacobi equation   where the Hamiltonian may lack   regularity, which is quite unseen in this type of studies.

Nous nous intéressons à un processus aléatoire sur   qui alterne des phases de mouvements rectilignes uniformes et change de vitesse à des temps exponentiels. Nous étudions plus précisément l'équation de Kolmogorov après rééchelonnement hyperbolique  ,  , puis nous effectuons une transformée de Hopf–Cole qui nous donne une équation cinétique suivie par un potentiel. Nous montrons la convergence pour   de ce potentiel vers la solution de viscosités d'une équation de Hamilton–Jacobi   où le hamiltonien peut présenter une singularité  , ce qui est assez inédit dans ce type d'études.