Perverse sheaves and knot contact homology - 18/04/17

Doi : 10.1016/j.crma.2017.02.007

Yuri Berest ^a , Alimjon Eshmatov ^b , Wai-Kit Yeung ^a
^a Department of Mathematics, Cornell University, Ithaca, NY 14853-4201, USA
^b Department of Mathematics and Statistics, University of Toledo, Toledo, OH 43606-3390, USA

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Abstract

In this paper, we give a new algebraic construction of knot contact homology in the sense of Ng [[35]]. For a link L in , we define a differential graded (DG) k-category with finitely many objects, whose quasi-equivalence class is a topological invariant of L. In the case when L is a knot, the endomorphism algebra of a distinguished object of coincides with the fully noncommutative knot DGA as defined by Ekholm, Etnyre, Ng, and Sullivan in [[13]]. The input of our construction is a natural action of the braid group on the category of perverse sheaves on a two-dimensional disk with singularities at n marked points, studied by Gelfand, MacPherson, and Vilonen in [[19]]. As an application, we show that the category of finite-dimensional representations of the link k-category defined as the 0-th homology of is equivalent to the category of perverse sheaves on that are singular along the link L. We also obtain several generalizations of the category by extending the Gelfand–MacPherson–Vilonen braid group action. Detailed proofs of results announced in this paper will appear in [[4]].

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Résumé

Dans cette Note, nous donnons une nouvelle construction algébrique de l'homologie de contact des nœuds, au sens de Ng [[37]]. Pour un entrelacs L dans , nous définissons une k-catégorie différentielle graduée ayant un nombre fini d'objets, dont la classe de quasi-équivalence est un invariant topologique de L. Lorsque L est un nœud, l'algèbre des endomorphismes d'un objet distingué de coïncide avec l'algèbre différentielle graduée, pleinement non commutative du nœud, définie par Ekholm, Etnyre, Ng et Sullivan dans [[12]]. Notre construction se base sur une action naturelle du groupe de tresses sur la catégorie des faisceaux pervers sur un disque de dimension deux avec singularités en n points marqués, étudiée par Gelfand, McPherson et Vilonen dans [[19]]. Comme application, nous montrons que la catégorie des représentations de dimension finie de la k-catégorie d'entrelacs , définie comme l'homologie de degré 0 de , est équivalente à la catégorie des faisceaux pervers sur qui sont singuliers le long de l'entrelacs L. Nous obtenons également plusieurs généralisations de la catégorie en étendant l'action du groupe de tresses de Gelfand–MacPherson–Vilonen.