Dynamical covering problems on the triadic Cantor set - 20/07/17
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Abstract |
In this note, we consider the metric theory of the dynamical covering problems on the triadic Cantor set . More precisely, let
be the natural map on
, μ the standard Cantor measure and
a given point. We consider the size of the set of points in
which can be well approximated by the orbit
of
, namely the set
D(x0,φ):={y∈K:|Tnx0−y|<φ(n)for infinitely manyn∈N}, where φ is a positive function defined on . It is shown that for μ almost all
, the Hausdorff measure of
is either zero or full depending upon the convergence or divergence of a certain series. Among the proof, as a byproduct, we obtain an inhomogeneous counterpart of Levesley, Salp and Velani's work on a Mahler's question about the Diophantine approximation on the Cantor set
.
Résumé |
Nous considérons dans cette Note la théorie métrique des recouvrements dynamiques dans l'ensemble de Cantor triadique . Plus précisément, soit
l'application naturelle sur
, μ la mesure de Cantor standard et
un point donné. Nous considérons la mesure de l'ensemble des points de
qui peuvent être bien approchés par l'orbite
de
, c'est-à-dire l'ensemble
D(x0,φ):={y∈K:|Tnx0−y|<φ(n)pour une infinité den∈N}, où φ est une fonction positive définie sur . Nous montrons que pour μ-presque tout
la mesure de Hausdorff de
est soit zéro, soit pleine, selon la convergence ou la divergence d'une certaine série. Notre démonstration fournit en passant une contre-partie inhomogène au travail de Levesley, Salp et Velani sur une question de Mahler relative à l'approximation rationnelle des points de l'ensemble de Cantor.
Plan
Vol 355 - N° 7
P. 738-743 - juillet 2017 Retour au numéroBienvenue sur EM-consulte, la référence des professionnels de santé.
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