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Dynamical covering problems on the triadic Cantor set - 20/07/17

Doi : 10.1016/j.crma.2017.05.014 
Bao-Wei Wang , Jun Wu , Jian Xu
 School of Mathematics and Statistics, Huazhong University of Science and Technology, 430074 Wuhan, China 

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Abstract

In this note, we consider the metric theory of the dynamical covering problems on the triadic Cantor set  . More precisely, let   be the natural map on  , μ the standard Cantor measure and   a given point. We consider the size of the set of points in   which can be well approximated by the orbit   of  , namely the set
D(x0,φ):={y∈K:|Tnx0−y|<φ(n)for infinitely manyn∈N}, where φ is a positive function defined on  . It is shown that for μ almost all  , the Hausdorff measure of   is either zero or full depending upon the convergence or divergence of a certain series. Among the proof, as a byproduct, we obtain an inhomogeneous counterpart of Levesley, Salp and Velani's work on a Mahler's question about the Diophantine approximation on the Cantor set  .

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Nous considérons dans cette Note la théorie métrique des recouvrements dynamiques dans l'ensemble de Cantor triadique  . Plus précisément, soit   l'application naturelle sur  , μ la mesure de Cantor standard et   un point donné. Nous considérons la mesure de l'ensemble des points de   qui peuvent être bien approchés par l'orbite   de  , c'est-à-dire l'ensemble
D(x0,φ):={y∈K:|Tnx0−y|<φ(n)pour une infinité den∈N}, où φ est une fonction positive définie sur  . Nous montrons que pour μ-presque tout   la mesure de Hausdorff de   est soit zéro, soit pleine, selon la convergence ou la divergence d'une certaine série. Notre démonstration fournit en passant une contre-partie inhomogène au travail de Levesley, Salp et Velani sur une question de Mahler relative à l'approximation rationnelle des points de l'ensemble de Cantor.

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Vol 355 - N° 7

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