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On the existence of correctors for the stochastic homogenization of viscous Hamilton–Jacobi equations - 20/07/17

Doi : 10.1016/j.crma.2017.06.001 
Pierre Cardaliaguet a , Panagiotis E. Souganidis b
a Ceremade, Université Paris-Dauphine, Place du Maréchal de Lattre de Tassigny, 75775 Paris cedex 16, France 
b Department of Mathematics, University of Chicago, Chicago, IL 60637, USA 

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Abstract

We prove, under some assumptions, the existence of correctors for the stochastic homogenization of “viscous” possibly degenerate Hamilton–Jacobi equations in stationary ergodic media. The general claim is that, assuming knowledge of homogenization in probability, correctors exist for all extreme points of the convex hull of the sublevel sets of the effective Hamiltonian. Even when homogenization is not a priori known, the arguments imply the existence of correctors and, hence, homogenization in some new settings. These include positively homogeneous Hamiltonians and, hence, geometric-type equations including motion by mean curvature, in radially symmetric environments and for all directions. Correctors also exist and, hence, homogenization holds for many directions for nonconvex Hamiltonians and general stationary ergodic media.

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Nous démontrons l'existence, sous certaines conditions, de correcteurs en homogénéisation stochastique d'équations de Hamilton–Jacobi et d'équations de Hamilton–Jacobi visqueuses. L'énoncé général est que, si l'on sait qu'il y a homogénéisation en probabilité, un correcteur existe pour toute direction étant un point extrémal de l'enveloppe convexe d'un ensemble de niveau du Hamiltonien effectif. Même lorsque que l'homogénéisation n'est pas connue a priori, les arguments développés dans cette note montrent l'existence d'un correcteur, et donc l'homogénéisation, dans certains contextes. Cela inclut les équations de type géométrique dans des environnements dont la loi est à symmétrie radiale. Dans le cas général stationnaire ergodique et sans hypothèse de convexité sur le hamiltonien, on montre que des correcteurs existent pour plusieurs directions.

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Plan


 P. Cardaliaguet was partially supported by the ANR (Agence nationale de la recherche) project ANR-12-BS01-0008-01. P. E. Souganidis was partially supported by the National Science Foundation Grants DMS-1266383 and DMS-1600129 and the Office of Naval Research Grant N000141712095.


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Vol 355 - N° 7

P. 786-794 - juillet 2017 Retour au numéro
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