We are interested in the exact null controllability of the equation  , with control u supported on ω. We show that, when ω does not intersect a horizontal band, the considered equation is never null-controllable. The main idea is to interpret the associated observability inequality as an   estimate on polynomials, which Runge's theorem disproves. To that end, we study in particular the first eigenvalue of the operator   with Dirichlet conditions on  , and we show a quite precise estimation it satisfies, even when n is in some complex domain.

Nous nous intéressons à la contrôlabilité exacte à zéro de l'équation   sur  , avec contrôle u sur ω. Nous démontrons que si ω est le complémentaire d'une bande horizontale, l'équation considérée n'est contrôlable pour aucun temps. L'idée principale est d'interpréter l'inégalité d'observabilité comme une estimation sur les fonctions entières, que nous nions grâce au théorème de Runge. Pour réaliser cette interprétation, nous étudions en particulier la première valeur propre de   avec conditions de Dirichlet sur  , et en obtenons une estimation assez précise, y compris pour certains n complexes.