We deal with the uniqueness of distributional solutions to the continuity equation with a Sobolev vector field and with the property of being a Lagrangian solution, i.e. transported by a flow of the associated ordinary differential equation. We work in a framework of lack of local integrability of the solution, in which the classical DiPerna–Lions theory of uniqueness and Lagrangianity of distributional solutions does not apply due to the insufficient integrability of the commutator. We introduce a general principle to prove that a solution is Lagrangian: we rely on a disintegration along the unique flow and on a new directional Lipschitz extension lemma, used to construct a large class of test functions in the Lagrangian distributional formulation of the continuity equation.

On étudie l'unicité des solutions au sens des distributions de l'équation de continuité avec des champs de vecteurs Sobolev et la propriété d'être une solution lagrangienne, c'est-à-dire une solution transportée par le flot de l'équation différentielle ordinaire associée au champ de vecteurs. On travaille dans un cadre où les solutions considérées manquent d'intégrabilité locale et où on ne peut pas appliquer la théorie classique de DiPerna–Lions d'unicité des solutions au sens des distributions et de la propriété d'être lagrangienne, parce que l'on n'a pas assez d'intégrabilité pour le commutateur. On introduit un principe général pour démontrer la propriété d'être une solution lagrangienne : notre technique se base sur une désintégration le long du flot unique et sur un lemme d'extension lipschitzienne directionnelle, qui nous permet de construire une vaste famille de fonctions tests pour la formulation lagrangienne au sens des distributions de l'équation de continuité.