A functional B on the space of bounded real sequences   is said to be a Banach limit if  ,   and   for every  , where T is a translation operator. The set of all Banach limits   is a closed convex set on the unit sphere of  . Let C be Cesàro operator  ,   Denote  .

The cardinality of the set of extreme points   is  , where c is the cardinality of continuum. A subspace generated by any countable collection from   is isometric to  . For given  ,  , we denote
SB,r={D∈B:‖D−B‖ℓ∞⁎=r}. We prove that   if and only if the sphere   is convex for every  .

Une forme linéaire B sur l'espace   des suites bornées est appelée une limite de Banach si  ,   et   pour tout  , T désignant l'opérateur de translation. L'ensemble   des limites de Banach est un sous-ensemble convexe fermé de la shère unité de  . Soit C l'opérateur de Cesàro,  ,   Posons  .

La cardinalité de l'ensemble des points extrémaux   est  , où c désigne la cardinalité du continuum. Un sous-espace engendré par une famille dénombrable de   est isométrique à  . Étant donnés   et  , notons
SB,r={D∈B:‖D−B‖ℓ∞⁎=r}. Nous montrons que   si et seulement si la sphère   est convexe pour tout  .