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On the ordinariness of coverings of stable curves - 24/01/18

De l'ordinarité des revêtements de courbes stables

Doi : 10.1016/j.crma.2017.11.013 
Yu Yang
 Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University, Kyoto 606-8502, Japan 

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Abstract

In the present paper, we study the ordinariness of coverings of stable curves. Let   be a morphism of stable curves over a discrete valuation ring R with algebraically closed residue field of characteristic  . Write S for SpecR and η (resp. s) for the generic point (resp. closed point) of S. Suppose that the generic fiber   of X is smooth over η, that the morphism   over η on the generic fiber induced by f is a Galois étale covering (hence   is smooth over η too) whose Galois group is a solvable group G, that the genus of the normalization of each irreducible component of the special fiber   is ≥2, and that   is ordinary. Then we have that the morphism   over s induced by f is an admissible covering. This result extends a result of M. Raynaud concerning the ordinariness of coverings to the case where   is a stable curve. If, moreover, we suppose that G is a p-group, and that the p-rank of the normalization of each irreducible component of   is ≥2, we can give a numerical criterion for the admissibility of  .

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Résumé

Dans la présente Note, nous étudions l'ordinarité des revêtements de courbes stables. Soit   un morphisme de courbes stables sur un anneau de valuation discrète R, dont le corps résiduel est algébriquement clos, de caractéristique  . Notons S pour   et η (resp. s) le point générique (resp. le point fermé) de S. Supposons que la fibre générique   de X est lisse au-dessus de η, que le morphisme   des fibres génériques induit par f au-dessus de η soit un revêtement étale galoisien (et donc   est aussi lisse au-dessus de η), dont le groupe de Galois G est résoluble, que le genre des normalisations des composantes irréductibles de la fibre spéciale   soit au moins 2 et que   soit ordinaire. Alors, le morphisme   induit par f au-dessus de s est un revêtement admissible. Ce résultat étend un énoncé de M. Raynaud sur l'ordinarité des revêtements lorsque   est une courbe stable. Si, de plus, on suppose que G est un p-groupe et que le p-rang de la normalisation de chaque composante irréductible de   est au moins 2, nous pouvons donner un critère numérique pour l'admissibilité de  .

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