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Convergence in Wasserstein distance for self-stabilizing diffusion evolving in a double-well landscape - 28/05/18

Convergence en distance de Wasserstein pour une diffusion auto-stabilisante évoluant dans un paysage à double puits

Doi : 10.1016/j.crma.2018.04.020 
Julian Tugaut
 Univ Lyon, Université Jean-Monnet, CNRS UMR 5208, Institut Camille-Jordan, Maison de l'Université, 10, rue Tréfilerie, CS 82301, 42023 Saint-Étienne cedex 2, France 

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Abstract

It is well-known (see Bolley et al. [[3]]) that there exists a contraction in Wasserstein distance between the solution to the granular media equation and its unique steady state, provided that the confining potential is strictly convex. Nevertheless, in the nonconvex case, just few is known. In particular, we do not have a unique steady state under easily checked assumptions if the diffusion coefficient is sufficiently small. Consequently, the method of Bolley, Gentil and Guillin can not be applied in this setting. However, here, we present a simple example (for the sake of the simplicity) of a double-well confining potential, and we show the convergence to 0 of the Wasserstein distance between the solution to the granular media equation and a related application (which characterizes the steady states) of this solution.

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Il est bien connu (voir Bolley et al. [[3]]) qu'il existe une contraction en distance de Wasserstein entre la solution de l'équation des milieux granulaires et son unique état d'équilibre, pour peu que le potentiel de confinement soit strictement convexe. Néanmoins, dans le cas non convexe, on dispose de peu de résultats. En particulier, sous des conditions simples à vérifier, il n'y a pas unicité de l'état d'équilibre. Par conséquent, la méthode de Bolley, Gentil et Guillin ne peut pas être appliquée sous ces conditions. Toutefois, ici, nous présentons un exemple simple (par souci de simplicité) d'un potentiel de confinement à deux puits, et nous montrons la convergence vers 0 de la distance de Wasserstein entre la solution de l'équation des milieux granulaires et une application (qui caractérise les états d'équilibre) de cette solution.

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Vol 356 - N° 6

P. 657-660 - juin 2018 Retour au numéro
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