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Chemotaxis effect vs. logistic damping on boundedness in the 2-D minimal Keller–Segel model - 25/07/18

Effet chimiotaxique contre amortissement logistique pour borner les solutions du modèle de Keller–Segel minimal en dimension 2

Doi : 10.1016/j.crma.2018.07.002 
Hai-Yang Jin a , Tian Xiang b,
a School of Mathematics, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China 
b Institute for Mathematical Sciences, Renmin University of China, Beijing 100872, China 

Corresponding author.

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Abstract

We study the chemotaxis effect vs. logistic damping on boundedness for the well-known minimal Keller–Segel model with logistic source:
{ut=∇⋅(∇u−χu∇v)+u−μu2,x∈Ω,t>0,vt=Δv−v+u,x∈Ω,t>0 in a smooth bounded domain   with  , nonnegative initial data  ,  , and homogeneous Neumann boundary data. It is well known that this model allows only for global and uniform-in-time bounded solutions for any  . Here, we carefully employ a simple and new method to regain its boundedness, with particular attention to how upper bounds of solutions qualitatively depend on χ and μ. More, precisely, it is shown that there exists   such that‖u(⋅,t)‖L∞(Ω)≤C[1+1μ+χK(χ,μ)N(χ,μ)] and‖v(⋅,t)‖W1,∞(Ω)≤C[1+1μ+χ83μK83(χ,μ)]=:CN(χ,μ) uniformly on  , whereK(χ,μ)=M(χ,μ)E(χ,μ),M(χ,μ)=1+1μ+χ(1+1μ2) andE(χ,μ)=exp⁡[χCGN22min⁡{1,2χ}(4μ‖u0‖L1(Ω)+132μ2|Ω|+‖∇v0‖L2(Ω)2)]. We notice that these upper bounds are increasing in χ, decreasing in μ, and have only one singularity at  , where the corresponding minimal model (removing the term   in the first equation) is widely known to possess blow-ups for large initial data.

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Nous étudions l'effet chimiotaxique versus l'amortissement logistique pour borner les solutions du modèle de Keller–Segel minimal bien connu avec source logistique :
{ut=∇⋅(∇u−χu∇v)+u−μu2,x∈Ω,t>0,vt=Δv−v+u,x∈Ω,t>0 dans un domaine borné, lisse   avec  , des données initiales  ,   positives ou nulles et des données au bord de Neumann homogènes. Il est bien connu que ce modèle n'a que des solutions bornées globales et uniformes en temps, pour tout  . Nous utilisons ici une méthode nouvelle et simple pour retrouver ces bornes en portant une attention particulière à la dépendance en χ et μ des bornes supérieures des solutions. Plus précisément, nous montrons qu'il existe   tel que‖u(⋅,t)‖L∞(Ω)≤C[1+1μ+χK(χ,μ)N(χ,μ)] et‖v(⋅,t)‖W1,∞(Ω)≤C[1+1μ+χ83μK83(χ,μ)]=:CN(χ,μ) uniformément sur  , oùK(χ,μ)=M(χ,μ)E(χ,μ),M(χ,μ)=1+1μ+χ(1+1μ2) etE(χ,μ)=exp⁡[χCGN22min⁡{1,2χ}(4μ‖u0‖L1(Ω)+132μ2|Ω|+‖∇v0‖L2(Ω)2)]. Nous observons que ces bornes supérieures croissent avec χ, décroissent avec μ et n'ont qu'une singularité en  . Il est bien connu que le modèle minimal correspondant (en ôtant le terme   dans la première équation) a des solutions qui explosent pour les grandes données initiales.

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Vol 356 - N° 8

P. 875-885 - août 2018 Retour au numéro
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