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Self-adjoint and skew-symmetric extensions of the Laplacian with singular Robin boundary condition - 31/08/18

Extensions self-adjointes et anti-symétriques du laplacien, avec condition à la frontière de type Robin singulière

Doi : 10.1016/j.crma.2018.07.001 
Sergei A. Nazarov a, b , Nicolas Popoff c
a Saint-Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7–9, St. Petersburg, 199034, Russia 
b Institute of Problems of Mechanical Engineering, Bolshoi pr., 61, St. Petersburg, 199178, Russia 
c Institut de mathématique de Bordeaux, Université Bordeaux-1, UMR 5251, 33405 Talence cedex, France 

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Abstract

We study the Laplacian in a bounded domain, with a varying Robin boundary condition singular at one point. The associated quadratic form is not semi-bounded from below, and the corresponding Laplacian is not self-adjoint, it has a residual spectrum covering the whole complex plane. We describe its self-adjoint extensions and exhibit a physically relevant skew-symmetric one. We approximate the boundary condition, giving rise to a family of self-adjoint operators, and we describe its spectrum by the method of matched asymptotic expansions. A part of the spectrum acquires a strange behavior when the small perturbation parameter   tends to zero, namely it becomes almost periodic in the logarithmic scale  , and in this way “wanders” along the real axis at a speed  .

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Nous étudions le laplacien dans un domaine borné, avec une condition à la frontière de type Robin, variable et singulière en un point. La forme quadratique associée n'est pas bornée inférieurement, et le laplacien correspondant n'est pas self-adjoint ; son spectre résiduel couvre entièrement le plan complexe. Nous décrivons ses extensions self-adjointes et nous en montrons une anti-symétrique, pertinente en physique. Nous approchons la condition de frontière à l'aide d'une famille d'opérateurs self-adjoints et nous décrivons son spectre par la méthode d'appariement des développements asymptotiques. Une partie du spectre adopte un comportement étrange quand le paramètre   de petite perturbation tend vers zéro ; précisément, il devient presque périodique en échelle logarithmique  , et ainsi « erre » le long de l'axe réel à une vitesse  .

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Vol 356 - N° 9

P. 927-932 - septembre 2018 Retour au numéro
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